16中学数学教学2011年第6期是巧合，还是必然?——从期望的角度对一道高三质量检测题的研究安徽省五河县第二中学刘瑞美(邮编：)1问题的提出概率问题是历年各地高考试题的必考题，为了使学生能获得这方面的解题经验和方法，提高学生分析问题和解决的能力，各地都会在该知识点处命制背景新颖的考题．2011年安徽省江南十校高三的二模冲刺卷理科第17题，就是一道非常富有新意而又很普通的概率问题．在评阅试卷时发现，由于学生使用的概率模型不同，得出的分布列不一样，但其数学期望却是相同的，这到底是巧合，还是必然?难道标准答案给错了?还是学生的答案错了?带着这样的疑惑，不由得勾起了笔者对问题的探究，下面从期望的角度对此进行研究．现将笔者探究的心路历程呈现于广大读者，不知妥否，还望各位赐教．2问题呈现及解答某仪表厂从供应商处购置元器件20件，双方协商的验货规则是：从中任取3件进行检测，若3件中无不合格品，则这批元器件被接受，否则就要重新对这批兀器件逐个检查．(1)若该批元器件的不合格品率为10％，求需对这批元器件逐个检查的概率；(2)若该批元器件的不合格品率为20％，求3件中不合格元器件个数的分布列及期望．参考答案：解记3件元器件中有X件为不合格品．(1)P一1一P(x—o)一1一甓一骛．(2)设不合格品元器件的个数为X，则X的可能取值为：0，l，2，3．P(X_0)一甓一丽28，眦圳一警一苦，P(X一-2)一警一两8，蹦钏一番一忐．谤o’讳滂、>，o，西一西o_，cot艺^净o’070’or，o，bo，o'o，o')c々t’70’o，o_，协o，07协o’-。?09西b070，070，-bo’-b毋谤素质情况．先与部分区(县)教研员交流，然后抽取了不同层次学校的教师，了解他们对展示中“五个一”的理解和把握情况．最后我们依靠我市的部分专家型的教师，分高、初中命制了两套赛题．主要体现新课程的理念和个人综合素质的考查．下次综合素质比赛的试题部分，我们还要增加试题的综合性；对说课和评课内容的选择主要体现在知识的衔接处，让教师们有话可说和可评；无生上课内容的选择主要是老师不重视，但内容较重要的部分．8．4“选手”表现的差异性值得反省从本次综合素质展示选手的五项“表现”来看，许多选手通过几年新课程的教学，大家对新课程的认识有了很大的提高，特别后三项更加突出，把新课程的理念渗透其中．突出了三维目标的落实，把学生的学和教师的教恰当的融为一体，在学生发展的同时也注重自己的教师专业化的发展．但从解题和命题情况来看，并不令人乐观，命题更成问题．这也是资料泛滥造成的后果．许多教师在平时没有实地的去解题和命题，造成了教师这两项能力的退化．我们参与展示的选手是经过选拔和辅导过的教师，由此可以想像其他教师的这两项能力情况．在参与展示的选手的整体情况看，差异较大，少数教师在第一轮只得了30分(第一轮总分120分)，提高教师的整体素质是我们教研工作者的当务之急，否则会影响整体中学数学教育的质量，误人子弟．首次中学数学综合素质展示已经结束，虽然在展示的形式和范围上有所创新，其真正的目的是提高整体数学教师的素质，乃至提高我市整体数学教育质量．(收稿日期：2011—10—08)2011年第6期中学数学教学所以X的分布列为：┏━━━┳━━━━┳━━━━━━┳━━━━┳━━━━┓┃X┃O┃ l┃2┃3┃┣━━━╋━━━━╋━━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃┃28┃8┃8┃上┃┃P┃┃__——┃┃┃┃┃57┃19┃95┃285┃┗━━━┻━━━━┻━━━━━━┻━━━━┻━━━━┛EX—o×器+1×南+2×螽+3×去=171—3—285一i。以上的参考答案使用的是超几何分布模型．学生的答案：解记“需对这批元器件逐个检查的概率”为事件A．(1)P(A)=1一(1—10％)3—0．271．(2)设不合格品元器件的个数为x，则X的可能取值为：0，1，2，3．显然，X～B(3，0．2)，因此有：P(X一0)一C：0．20(1—0．+2)3—0．512，P(X一1)一Ci0．21(1—0．2)2—0．384，P(X=2)一C；0．22(1—0．2)1—0．096，P(X一3)一C；0．23(1—0．2)o一0．008．所以X的分布列为：┏━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┓┃I x┃O┃1┃2┃3┃┃┃_┃┃┃┃┣━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━┫┃lP┃O．512┃O．384┃O．096┃ o．008┃┗━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┛EX一0X0．512+1×0．384十2×0。096+3X0．008一O．6．学生的解答使用了二项分布模型．在双方协商的验货规则下，很显然采用的应是一种不放回抽样，这样才对双方都是公平的，而二项分布是解决有放回抽样问题的，因此学生的概率模型选错了，其分布列肯定是错误的，但为什么两种模型下的期望是一样的呢?难道是一种巧合吗?如果真是巧合，那么参考答案和学生的答案哪一个是正确的呢?如果不是巧合，它们之间是与否存在着必然的联系吗?3变式探究寻求必然下面我们不妨将第(2)问变为：(1)不合格品率为25％，其它条件不变，求3件中不合格元器件个数的分布列及期望；(2)若该批元器件的不合格品率为20％，将“任选3件”改为“任选4件”，求4件中不合格元器件个数的分布列及期望；(3)若该批元器件的不合格品率为20％，将“任选3件”改为“任选5件”，求4件中不合格元器件个数的分布列及期望；(1)解法1(甩超几何分布)：设不合格品元器件的个数为X，则X的可能取值为：0，1，2，3．P(x—o)一蠢C3一丽91’P(x一1)一警一3，5。,P(X=2，一警一5,p(x。、C；1、一副一瓦。面‘所以X的分布列为：┏━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┓┃X┃O┃1┃2┃3┃┣━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃┃91┃35┃5┃1┃┃P┃┃┃┃┃┃┃228┃76┃38┃114┃┗━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┛EX—OX基+1×丽35+2×5+3×面1—3249—3一西豆一百’解法2(用二项分布)：设不合格品元器件的个数为X，则X的可能取值为：0，1，2，3．显然，X～B(3，0．25)，因此有：P(X—O)一a0．250(1—0．25)3—0．，P(X=1)=G0．251(1～0．25)2—0．，P(X一2)一G0．252(1—0．25)1=0．，P(X一3)一a0．253(1～0．25)o一0．0．所以X的分布列为：┏━━━━┳━━━━━━┳━━━━━━┳━━━━━━┳━━━━━━┓┃I x┃O┃1┃2┃3┃┣━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━╋━━━━━━┫┃IP┃ o．┃O．┃O．┃O．0┃┗━━━━┻━━━━━━┻━━━━━━┻━━━━━━┻━━━━━━┛EX—np一0．75．(2)解法1(用超几何分布)：设不合格品元器件的个数为X，则X的可能取值为：0，1，2，3，4．P(x—o)一嵩2 i惫，P(X一1)一P(X一2)一Cj·口s～2240—石r～—48—45’Ci·C扎～60—石厂～丽两’眦_3)一警31一面16，P(x_4)一番一丽1190．C；o3818中学数学教学2011年第6期所以X的分布列为：┏━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━┳━━━━┓┃X┃O┃1┃2┃3┃4┃┣━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃P┃┃2240┃60┃16┃┃┃┃1453┃4845┃1615┃4845┃┃┗━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━┻━━━━┛EX一0X志+lX裟+2X器+3X盖+4×丽1=i4．解法2(用二项分布)：设不合格品元器件的个数为X，则X的可能取值为：0，1，2，3，4．显然，X～B(4，0．2)，因此有：P(X一0)一Ci0．20(1—0．2)4—0．4096，P(X一1)一a0．21(1—0．2)3—0．4096，P(X一2)一C；0．22(1—0．2)2—0．1536，P(X=3)一Ci0．23(1—0．2)1—0．0256，P(X=4)一C：0．24(1—0．2)o一0．0016．所以X的分布列为：┏━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┳━━━━━┓┃I x┃O┃1┃2┃3┃4┃┣━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━╋━━━━━┫┃IP┃ o．4096┃0．4096┃O．1536┃O．0256┃O．OOl6┃┗━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┻━━━━━┛ c^。np2 u．石．(3)解法1(用超几何分布)：因为在问题中最多只有4件不合格品，因此其分布列求法如下：设不合格品元器件的个数为X，则X的可能取值为：0，1，2，3，4．蹦圳一番一器，眦钏一警一裟，眦：2)一警一丽3360，P(X钏一警一丽480，P(x一4)一与蓦4≯1一丽16．所以X的分布列为：┏━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┓┃X┃0┃1┃2┃3┃4┃┣━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃┃4368┃7280┃3360┃480┃16┃┃P┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┗━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┛EX_0×篇+1×黑+2X裟+3×器+4×丽16—1．容易求出在二项分布模型下，其期望为EX—np一5X0．2—1．为了进一步验证这种“巧合”，笔者又让学生对下题进行了研究．从某校高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到的每位同学的视力，其中“好视力”(不低于5．o)4人．以这16人样本数据来估计整个学校的整体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记搴表示抽到“好视力”学生的人数，求e的分布列及期望．因为此题中总体中个体数目很大，因此应使用二项分布模型，不应使用超几何分布模型．通过运算，大家也发现，虽然在两种模型下的分布列不同，但期望也是完全一样的．法1∈的可能取值为0，1，2，3，P(车=是)一1^ o3--k1 o a‘专)({)，车～13(3，专)，故磁一np一{．法2∈的可能取值为0，1，2，3，P(}=忌)一—Ck奇C3一-k，走：o，1，2，3．所以e的分布列为： u16┏━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━┓┃车┃O┃1┃2┃3┃┣━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━┫┃┃11┃33┃9┃1┃┃P┃┃┃┃┃┃┃28┃70┃70┃140┃┗━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━┛因而，B—oX丽11+1X而33+2×杀+3X一1一旦1404‘这又进一步验证了在两种模型下得到的期望是相同的．4一般性探究拨云见日以上通过特例对问题进行了变式研究，那么在一般情况下，超几何分布的期望与二项分布的期望是否也存在这样的必然联系呢?于是又展开了如下探究：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取靠件，其中恰有X件次品数，则P(X一是)一坐笔业，是=0，1，2，…，m，LN其中优一rain{M，咒)，且1"／≤N，M≤N，M、N、7"／∈N+，则称随机变量X服从超几何分布．由超几何分布的定义可知，有三个基本量M、N、咒，如果将上面相应的二项分布的概率用P一警来表示，通过前面的举例验证等合情推理可

文章来源：《电子元器件与信息技术》 网址: http://www.dzyqjyxxjs.cn/qikandaodu/2020/1118/658.html